Théorème de Tychonov - Math'φsics

Théorème de Tychonov

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Théorème de Tychonov :
\((X_i,\mathcal U_i)_{i\in I}\) est une famille d'espaces topologiques compacts

$$\Huge\iff$$

\(X=\prod_{i\in I}X_i\) est compact pour la Topologie produit
Théorème de Tychonov affaibli :
\((X_n,d_n)_{n\in\Bbb N}\) est une famille dénombrable d'espaces métriques compacts

$$\Huge\iff$$

\(X=\prod_{n\in{\Bbb N}}X_n\) est compact pour la distance associée à la Topologie produit : $$d((x_n)_n,(y_n)_n)=\max_{n\in\Bbb N}\min(2^{-n},d_n(x_n,y_n))$$
Démonstration du théorème de Tychonov affaibli :

On prend une suite de \(X\) (suite de suite), et par compacité de \(X_0\), on en extrait une sous-suite convergente pour \(X_0\) (via Théorème de Bolzano-Weierstrass)

On itère sur tous les espaces \(\to\) la suite extraite vérifie alors le Critère de Bolzano-Weierstrass pour l'espace produit.
Rétroliens :
- Compacité
- Enveloppe convexe